(공통수학1) 다항식 파악하기

친구와 스무고개를 한다고 하자. 친구가 머릿속에 떠올린 것이 무엇인지 알기 위해 여러분은 딱 20가지 질문만 할 수 있다. 질문의 개수가 한정되어 있으므로 질문을 신중하게 선택하여야 한다. 보통 거시적인 질문에서 점점 미시적인 것 순서로 물어보기 마련이다. 따라서 첫번째 질문은 보통 “생물체인가?”, “(생물체라면) 사람인가?”, “(사람이면) 산 사람인가?”와 같이 거시적인 질문이 된다.

수학에서 다항식을 파악하는 것 또한 마찬가지이다. 미지의 다항식 p(x)가 있을 때 p(x)를 구체적으로 파악하기 위해 (질문 스무개는 너무 많고) 딱 3가지만 물어볼 수 있다고 하자. 가장 먼저 어떤 질문을 던지는 것이 가장 효과적일까?

몇 차식인가 하는 것이 다항식에 있어서는 가장 거시적인 질문이라 할 수 있겠다. 차수가 같은 다항식끼리는 많은 공통점이 존재한다. 예를 들어 일차식은 모두 기울기가 일정하다는 공통점이 있다. 모든 삼차식 p(x)은 함수 y=p(x)의 그래프가 특정한 한 점에 대해 대해 점대칭이라는 공통점이 존재한다. 각 자리의 계수가 얼마인지하는 구체적인 수치는 차수에 비하면 그렇게 중요하지 않다.

보통은 아래와 같이 1) 차수, 2) 최고차항 계수, 3) 인수(또는 근) 순서로 파악해 나가는 것이 일반적이다. 꼭 기억해 두자.

미지의 다항식 p(x) 파악하기 순서

. 1) 차수
. 2) 최고차항 계수
. 3) 인수 또는 근 (예 : x-3을 인수로 갖는다 <=> 3을 근으로 갖는다)

실제로 아래와 같이 차수가 갖고 최고차항의 계수가 모두 양수인 삼차식에는 삼차함수로 변환하여 그래프를 그렸을 때 비슷한 그래프를 갖는 것이 많다는 것을 볼 수 있다. 이는 차수가 갖고 최고차항의 계수가 양수라는 것이 해당 다항식의 거시적인 특징을 결정하는 데 큰 역할을 한다는 것을 의미한다.

이러한 접근 방식은 문제를 풀 때 자주 쓰인다. 아래 고1 교과서 문제를 풀어 보자.

이는 다항식의 나눗셈으로 풀어도 되지만 지금 소개한 다항식 추론 방법으로 접근해 보자.

구하고자 하는 다항식을 p(x)라 하자.
먼저 다항식 p(x)의 차수를 파악하면, 2임을 쉽게 알 수 있다.
그리고 최고차항 계수를 파악해야 한다. A=BQ+R 식을 써 보면 p(x)의 최고차항의 계수가 1임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 p(x)를 아래와 같이 둘 수 있다.

p(x) = x²+ ax+ b

이를 바탕으로 x에 관한 항등식을 세우면 아래와 같다.

x³ + 4x² – 2x + 1 = ( x² + ax + b )( x + 3 ) + 16

미정계수법을 이용해서 a, b의 값을 구하면 끝이다.

이렇게 다항식을 파악해 나가는 방법은 고1 뿐 아니라 추후 고2때 다항함수를 추론하는 과정에 다시 한 번 나오게 되는 중요한 내용이다. 1학년 때부터 잘 다져 놓으면 2,3학년이 되어서 요긴하게 쓸 수 있을 것이다.