확률의 곱셈정리 및 관련 예제 분석

확률의 곱셈정리

두 사건 A, B의 경우의 수에 대해 아래 내용이 성립한다. (곱의 법칙)

n(A∩B) = n(A)n(B)

자연스럽게, 경우의 수 뿐 아니라 확률에서도 비슷한 내용이 아래와 같이 성립할 것이라 착각하기 쉽다.

p(A∩B) = p(A)p(B)

하지만 이는 성립하지 않는다. 실제로 이를 설명하는 확률의 곱셈정리는 다음과 같다.

p(A∩B) = p(A)p(B|A) =p(B)p(A|B)

증명 보기

A,B가 동시에 발생

확률과통계에는 “A,B가 동시에 발생”한다는 조건이 자주 등장한다. 하지만 실생활에서 보통 서로 다른 두 사건이 시간적으로 정확히 동시에 발생하지는 않는다. 이러한 문제에서 “동시에”라는 말은 보통 “연달아”, “둘 다” 정도로 이해하는 것이 바람직하다. 특히 아래와 같이 시간적 선후관계가 뚜렷한 문제도 엄연히 “동시에 발생”한 것으로 취급한다.

(비상교과서 확률과통계 55쪽)

이 문제에서 세민, 윤아가 자기계발도서를 꺼내는 사건을 각각 A,B라 할 때, (구하는 것)을 A,B에 대해 표현하면 아래와 같다.

(구하는 것) = p( A 발생 후 B ) = p(A∩B)

따라서, 곱셈법칙에 의해 아래와 같이 풀 수 있다.

(구하는 것) = p( A 발생 후 B ) = p(A∩B)
=p(A)p(B|A) = (3/9)*(2/8) = 1/12