(152~155쪽) II.미분 수학익힘책 힌트

생략

아래 부분들은 빨강은 빨강끼리 파랑은 파랑끼리 통일되어야한다.

파랑은 1로 통일되어있는데 빨강은 통일돼있지 않다.

보자마자 미분계수 f ‘(1)의 정의로 만들라는 문제임을 간파해야 한다.

같은색끼리 통일되어야 한다. 하늘색은 완료. 분홍은 모두 x 또는 x제곱으로 통일되어야 한다. 당연히 지금은 x제곱으로 통일되어야 한다.

녹색 x를 떼버려야 한다. 분자에 적절한 식을 뺐다 더하는 방식으로 정리하여라. 모르겠으면 아래 볼 것.

그리고나서 하트모양으로 쪼개면 된다.

그런데 이 문제는 익힘책에 와서 못 풀면 사실 이상한문제다. 중단원, 대단원에 많이 나오기 때문이다. 중단원문제중 비슷한 문제를 찾아 풀이영상을 꼭 확인라여라

ㄱ. 식 ㄱ을 양변을 b-a로 나눠 보아라.

\frac {f(b)-f(a)}{b-a}

ㄴ. 쉬워서 생략

ㄷ.

이 식은 아래와 같이 정리할 수 있다.

그러므로 두 점에서의 평균변화율을 비교해보아라

f ‘(x)를 구하시오 라는 문구에 주목하여라. 도함수를 구하는 방법은 2가지다.

1. 도함수 정의 이용
2. xⁿ 미분 공식 이용 (다항함수일때)

그런데 지금은 f(x)가 다항함수라는 언급이 없으므로 이 문제는 무.조.건. 1번 즉 정의를 이용해야 한다 (<<<중요)

왼쪽이 도함수의 정의다. 파란색 두 부분의 생김새가 비슷하다는 데 착안하여 y자리에 h를 대입해 이용해 보아라.

일단, f'(x)이 아래와 같이 표현된다는 것은 쉽게 구했을거다.

여기에 x=1만 대입하면 f'(1)을 구할 수 있을 것 같은데 문제는 분모가 0되서 쓸모가 없다. 문제 가정에 의해 f'(x)가 연속이다. 따라서, 함숫값f'(1)와 극한값 limf'(x)가 같다는 점에 주목하자.

f'(1) =\lim_{x \to 1} f'(x)

이하생략략

생략. 이미 중,대단원에 비슷한 문제가 너무 많다. 영상도 올렸으니 중,대단원 문제 중 비슷한 문제 참고할 것

힌트1. 곡선의 x=1에서의 접선의 기울기를 먼저 구하라.
힌트2. 수직인 두 직선 기울기 곱은 -1이다.

첫번째 식을 보면 0/0꼴임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 f(2)=3이다.
그리고 f ‘(2)의 값을 구하여라.

문제에 제시된 나눗셈 상황을 아래와 같이 A=BQ+R 형태로 적으면 다음과 같다.

모르는 것이 a,b 총 2개이므로 a,b에 대한 관계식이 2개 필요하다.
x=1을 대입하면 관계식1개가 나온다.
나머지 관계식 1개는 어떻게 찾더라? 고민해보고 아래를 보아라.

…

생략.

생략. 롤의정리 기본예제수준.

고1때 배운 내용을 상기하자.

역함수 존재 <=> 일대일대응

즉, 임의의 상수 k에 대해 함수 그래프가 상수함수 y=k 그래프와 무조건 한 점에서 만나야 한다.

지금처럼 최고차항계수가 음수인 삼차함수가 일대일대응이 되려면 그래프는 아래와 같은 유형이 되어야 한다.

즉, f ‘(x)가 무조건 0보다 (작거나 같아야 한다)

이 문제 풀이 과정에 등장하는 모든것을 이론적으로 정확히 이해하고 넘어가도록 하자. 노트정리를 권장한다.

주어진 그래프가 f(x)가 아니라, f'(x)의 그래프임을 주의.

f(x)파악에 있어 f ‘(x)는 부호가 중요하다고 누차 강조하였으므로, f ‘(x)그래프가 등장하면 부호부터 표시하는 습관을 들이자.

이를 바탕으로 f(x)그래프 개형을 파악하면 아래와 같다.

이제 이 f(x)그래프에서 ㄱ,ㄴ,ㄷ를 판별하여라.

극값을 가질 조건을 복습해 보자.

즉, (1) f ‘ =0이고 (2) f ‘의 부호가 바뀌어야 한다. ……..(*)

미분하면,

이므로, 여기서 조건 (*)을 만족하는 a의 범위를 구해 보아라.

[-2,0]에서의 f(x) 그래프를 그려서 최댓값, 최솟값을 어디서 갖는지 확인하여라.

직육면체 부피를 식으로 만드는 과정에서 비록 중학교 내용이지만 어려운 문제이다.

직육면체의 밑면의 한 변 길이를 x라고 두자. (0<x<3).
직육면체의 높이 h를 x에 대해 구해야 한다.
이를 위해 아래2가지를 활용하여라.
1) 큰 사각뿔과 작은 사각뿔이 3:x 닮음비를 갖는 닮음임을 활용하여라.
2) 높이 h가 큰 사각뿔 높이에서 작은 사각뿔의 높이를 뺀 것임을 활용하여라.

“서로 다른 네 실근을 갖도록”이라는 문구에서 보다시피 방정식 실근의 개수에 관한 문제이다. (수업 시간에 가장 많이 강조한 내용인데) 방정식 A=B의 실근의 개수는 그래프 A,B의 교점의 개수와 같다. 따라서 y=|f(x)|와 y=k 그래프를 그려서 교점의 개수가 4개가 되도록 해야 한다.

“원점에 돌아온 순간”이라는 문구를 수학적으로 번역해야 한다. 원점에 돌아왔다는 말은 위치 x가 0이라는 말이다.

생략. 스스로.

“매초 0.8m의 속도로” 늘어나는 것은 가로등에서 학생까지의 가로 길이, 즉 아래 그림에서 파란색 선분의 길이이다.

이 길이가 1초 뒤에는 0.8, 2초 뒤에는 0.8 x 2, 3초 뒤에는 0.8 x 3이 되므로 t 초 후에는 0.8t임을 알 수 있다.
그 외의 길이는 두 삼각형이 닮음임을 이용하여라.