정적분으로 정의된 함수

정적분으로 정의된 함수

$\int_a^x f(t)dt$

에 관한 고난이도 문제는 자주 출제되는 편이다. 이에 관하여 내용을 총정리하면 다음과 같다.

• 1) x에 관한 함수이다. (지금부터 $G(x)=\int_a^x f(t)dt$ 라 하자.)
• 2) G(a) = 0이다.
  ( 이유: $G(a)=\int_a^a f(t)dt =0$ )
• 3) $G(x)$ =$\int_a^x f(t)dt$ = $F(x)-F(a)$ 이다.
  (이유: 미적분의 기본정리(부정적분과 정적분의 관계 정리)
• 4) $G(x)$ 는 실수 전체에서 연속이다.
  (이유: 4)때문.)
• 5) $G(x)$ 는 실수 전체에서 미분가능하다.
  (이유: 3) 때문.)
• 6) $\lim_{x \to a} \frac{G(x)}{x – a}$ = $\lim_{x \to a} \frac{F(x)-F(a)}{x – a} = F ‘(a) = f(a)$
• 7) $\int_{a}^{x} (x – t)f(t) \, dt = x \int_{a}^{x} f(t) \, dt – \int_{a}^{x} t f(t) \, dt$

이러한 여러 성질이 고루 쓰이는 좋은 문제가 있어 소개한다. 위 성질들이 잘 숙지되면 이 문제를 풀 때 머뭇거리지 않고 아주 당연하게 올바른 접근이 떠오를 것이다.

[2023학년도 고3 10월 20번]