내적의 필요성

내적의 정의

고등학교 기하 교육과정에서, 두 평면벡터의 내적의 정의는 다음과 같다.

\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \, \|\vec{b}\| \cos\theta

이 때, 각 θ는 두 벡터가 이루는 각의 크기를 뜻한다.

내적의 성질

한편, 평면벡터의 내적을 성분으로 나타내면 아래와 같다.

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

왜 內積인가

수학개념 대부분은 한자어로 이루어져 있는데, 그 중 대부분은 한자 뜻풀이를 하면 개념을 직관적으로 이해하는 데 도움이 되는 경우가 많다.

내적의 한자어를 풀어 쓰면,

內 : 안 내, 積 : 쌓을 적

이다.

그래서, 내적이 무언가 ‘안으로 곱한다’는 의미를 갖고 있을 것이라 추측하기 쉬운데, 사실 그런 의미는 전혀 없다.

고등학교에서는 배우지 않지만, 대학 수학에는 내적과 대비되는 개념의 ‘외적’이라는 것이 있는데 원래 서구권에서는 내적, 외적이라 하지 않고 각각을 스칼라곱, 벡터곱이라 하였다.

벡터 연산이 상수, 즉 스칼라를 반환한다 해서 전자를 스칼라곱, 또 새로운 벡터를 반환한다 해서 벡터곱이라 불렀다. (지금도 서구권은 물론 우리나라 대학에서도 이렇게 부른다.)

그런데 근대에 일본의 수학자들이 이를 번역하면서 이를 내적, 외적으로 번역하게 된 것이 유래가 되어 동아시아권에서는 내적, 외적이라는 명칭을 그대로 쓰고 있다.

요약하면, 내외라는 한자는 사실 전혀 수학적 의미가 없다.

내적이 필요한 이유

벡터는 단순히 크기만 있는 게 아니라 방향도 있다. 그런데, 실제 문제 현상에서는

• 두 벡터가 같은 방향을 얼만큼 공유하는지
• 두 벡터가 이루는 각이 얼마인지

를 구해야 할 때가 많다. (물리,공학, 컴퓨터 그래픽 등)

벡터 내적은 이에 최적화된 연산이다. 이유는 다음과 같다.

첫째, 두 벡터가 같은 방향을 얼만큼 공유하는지는

• 각 벡터의 크기에 비례
• 두 벡터 사잇각 크기에 반비례 (정확히 반비례라기보다는 음의 상관관계)

한다. 따라서, 두 벡터가 같은 방향을 공유하는 정도를

|A||B|cos \theta

라고 정의하면 충분한 것이다.

둘째, 두 벡터가 이루는 각을 알아내는 방법은 다음과 같다.

벡터의 정의와 벡터 성분에 관한 성질을 연립하면 아래와 같이 쓸 수 있는데,

a_1b_1 + a_2b_2 = |A||B|cos\theta

이 식에 따르면, 각 벡터의 성분, 크기를 알면 두 벡터가 이루는 각을 구할 수 있다.

물리학에서 내적의 유용성

물리학에서는 힘, 변위 모두 벡터로 표현된다. (예: ~~방향으로 ~~만큼 힘 작용) 그런데 일의 크기는 스칼라 값(실수)으로 나타내어야 한다.

일의 크기가 힘의 크기와 변위의 크기에 모두 비례한다는 데 착안하여 힘 벡터와 변위 벡터를 단순히 곱해버리면(벡터곱) 새로운 벡터가 되어버려서 일의 크기와 같은 스칼라 물리량을 정의할 수 없다. 따라서, 일의 크기를 아래와 같이 힘 벡터와 변위 벡터의 내적으로 정의함으로써 문제를 해결할 수 있다.

W = F \cdot d 

힘의 분해에도 내적이 유용하게 쓰인다. 예컨대 경사면에서의 힘의 분해 상황에서는 벡터를 다른 방향의 벡터로 분해해야 한다. 그래야 내가 원하는 방향으로의 힘의 크기를 얻을 수 있다.

벡터 내적을 이용하면 내가 원하는 방향으로의 힘의 크기를 쉽게 뽑아낼 수 있다. 예컨대, 중력 벡터를

\mathbf{F}_g = (0, -mg)

라 하고, 경사면 방향의 단위벡터를

\hat{t} = (\cos\theta, \sin\theta)

라 하고, 경사면 수직 방향을

\hat{n} = (-\sin\theta, \cos\theta)

라 하자.

그러면, 내적을 이용해 아래와 같이 경사면 방향의 중력의 크기, 경사면 수직 방향으로의 중력의 크기를 뽑아낼 수 있다.

1)경사면 방향의 중력 크기

F_\parallel = \mathbf{F}_g \cdot \hat{t} 
= (0, -mg) \cdot (\cos\theta, \sin\theta) 
= -mg \sin\theta

2)경사면 수직 방향의 중력 크기

F_\perp = \mathbf{F}_g \cdot \hat{n} 
= (0, -mg) \cdot (-\sin\theta, \cos\theta) 
= -mg \cos\theta

직교 여부 판단

기하학이나 물리학에서 두 벡터가 직교를 이루는지를 알아야 할 때가 많다. 직교는 3차원 이하 공간에서의 ‘수직’을 일반화한 개념인데, 이 글에서는 ‘직교’, ‘수직’ 모두 똑같은 용어로 이해해도 무방하다.

두 벡터가 직교를 이루는지를 알아내기 위해 각도를 직접 계산하는 것은 너무 불편하다. 아래와 같이 내적을 이용해 쉽게 직교 여부를 판단할 수 있다는 것은 내적의 가장 큰 장점 중 하나이다.

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{a} \perp \mathbf{b}