방정식의 실근의 개수

고등학교 수학 문제에는 “방정식의 실근의 개수”를 묻는 문제가 많이 등장한다. 방정식의 실근의 개수를 구하는 것은 실근의 값을 구하는 것보다는 쉬워 보인다. 중학교, 고등학교 1학년까지는 “실근의 값”을 정확히 구하여 방정식을 풀어야 했는데 상위 학년으로 올라갈수록 오히려 실근의 개수만 구하고 값은 구하지 않아도 된다니 문제가 더 쉬워지는 것 같아 아이러니하다.

예를 들어 아래와 같은 방정식을 생각해 보자.

–1) x + 2 = 2x – 1

–2) sinx = log(x)

방정식 1의 경우, 등식의 성질을 이용하여 x의 정확한 값을 구할 수 있다. 차수가 높아져도 관계 없다. 이차방정식도, 삼차방정식도, 그보다 차수가 높아져도 인수분해, 치환 등의 적절한 수학적 성질을 이용하여 근의 값을 정확히 구할 수 있는 문제가 많다.

하지만 방정식2는 일반적으로 실근의 값을 정확히 구할 수 없다. 이는 고등학교는 물론 대학교, 대학원 수학으로도 해결할 수 없어 현재까지도 정확한 해를 구하지 못하고 그 어림값(근삿값)만 구하고 있다.

이와 같이 서로 다른 종류의 함수(예: 방정식 2처럼 삼각함수와 로그함수)로 이루어진 방정식은 일반적으로 실근의 값을 정확히 구할 수 없다.

하지만 실근의 값 대신 그보다 러프한 실근의 개수는 구할 수 있다.

방정식 f(x) = g(x) 의 실근의 개수
= 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 서로 다른 교점의 개수

임을 이용하자.

위 교과서 문제 역시 좌변, 우변에 해당하는 함수의 그래프 개형을 파악하여 그 교점의 개수를 세어 실근의 개수를 구하고 있다.

교과서에서 이 부분을 배우고 나면 방정식의 실근의 개수는 그래프의 교점의 개수를 이용하여 구한다는 것을 머릿속에 입력하여야 한다. 그래야 아래와 같은 문제도 풀 수 있다. (2022학년도 3학년 6월 모의평가 미적분 27번)

공부가 올바르게 된 학생이라면 두 함수 f(x), g(x)의 그래프 개형을 그려 교점의 개수가 3이 되도록 하는 k의 값을 구해야겠다는 전략을 세울 수 있을 것이다.