함수의 그래프 – 시그모이드 함수

미적분 과목에서 “함수의 그래프” 단원은 여러 의미를 갖는다. 그동안 배웠던 개념을 종합적으로 적용하여야 하는 단원이라 그동안 미적분 공부를 얼마나 잘 해왔는지 스스로를 시험할 수 있는 단원이기도 하고, 한 문제를 풀기까지 시간이 오래 걸리므로 호흡이 긴 단원이기도 하고, 조그만 실수로도 그래프 개형이 완전히 달라져 실망감을 느끼기 쉬운 단원이기도 하다.

힘들게 그래프를 그리면서 “이 힘든 과정을 왜 해야 하지?”하는 의문이 드는 학생들도 많이 있을 것이다. 여기서는 복잡한 함수의 그래프가 실제 사회, 과학 분야에서 얼마나 유용하게 쓰이는지를 알 수 있는 한 가지 예를 소개하겠다.

미분, 이계도함수를 이용하여 증감표를 그려 함수의 그래프 개형을 올바르게 그리면 아래와 같은 개형을 얻는다.

이 함수는 자연과학, 공학, 사회과학 분야에서 많이 쓰이는 함수로 시그모이드 함수(sigmoid function)이라 한다.

자연계에는 초반에 급격히 증가하다가 후반에는 증가세가 완화되는 증가현상이 많다. 미생물의 증식, 감염병 확산 등이 그러하다. 이러한 현상을 다루기 위해서는 초반에 급격히 증가하다가 점점 완만해지는 그래프를 갖는 함수가 필요한데 시그모이드 함수가 정확히 여기에 해당한다.

뿐만 아니라, 인공지능의 하위 분야인 딥러닝에서는 사람의 신경계를 본따 만든 인공신경망을 이용하는데 이 인공신경망에 필요한 ‘활성화 함수(activation function)’에 이 시그모이드 함수가 톡톡한 역할을 하기도 한다.