(44~46쪽) I. 함수의 극한과 연속 대단원 마무리 힌트

단순대입. 이런 문제는 틀리지 않도록 하자.

분수꼴의 극한은 결국 0/0꼴 아니면 무한대/무한대 꼴이다. 복습해보자.
* 0/0꼴 : (드래그>>) 인수분해
루트가 있으면 : (드래그>>) 유리화
* 무한대/무한대꼴
: (정석) 분모,분자를
(드래그>>) 분모최고차항으로 나누기
(쉬운방법) 분모,분자 차수 같을 경우
(드래그>>) 최고차항 계수비
분모, 분자 차수 다를 경우
: 분모,분자 중 차수가 높은 것이 더 빠르게 증가/감소 비

-1) 0/0꼴이므로
lim _{x -> -1} f(x) 의 값을 구할 수 있다.
즉 x=-1일 때의 극한값을 구할 수 있다.
-2) f(-1) 과 lim _{x -> -1} f(x) 의 값이
같으면 좋을텐데.
같으려면 f(x)가 x= -1에서
(드래그>>) 연속 이어야 한다.
-3) f(x)가 다항함수이므로,
f(x)는 모든 실수에서
(드래그>>) 연속 이다.

* 중요 : f(x)가 다항함수이면
모든 실수에서 (드래그>>) 연속 이고
미분가능 이다.

[1단계]
변수가 무엇인가?
lim _t->무한대 라고 되어 있는 게 보이는가?
[2단계]
아래 빨간 박스 부분을 변수 t에 관한 식으로 표현하여라. (식으로 변환하는 과정에서 중2~고1까지 배웠던 도형 관련 지식들이 폭넓게 이용된다)

19쪽에 함수 극한 성질에 의해, 두 함수가 x=a에서 연속이면 두 함수의 합, 차, 곱, 몫 모두 연속이다. 단, 몫의 경우

(드래그>>) 분모가 0이 아닐 때

만 연속이다.

33~36페이지쯤에 필기되어 있을 것이다. 유리함수는 분모가 0이 아닐때만 연속, 무리함수는 루트안이 0보다 크거나 같을 때만 연속이다.

힌트1 : 모든 실수에서 연속이라고 하지만 사실 (드래그>>) x= 2 에서의 연속성만 조사하면 된다.
힌트2 : x=a에서의 연속의 정의 3조건이 뭐더라?

극한값이 존재할 조건과 연속의 정의를 아는지 묻는 기본적인 문제인데 다만 이를 그래프를 통해 구할 수 있는지가 곁들여진 문제이다.

ㄱ.
-1 에서의 극한값이 0이기 위해서는 ( 좌극한 )과 ( 우극한 )이 모두 0이어야 한다.
ㄴ.
-1에서 연속이기 위한 3가지 조건을 적고 하나 하나 따져 보아라.
ㄷ.
ㄴ과 마찬가지.

힌트1: 분수꼴극한은 항상 분모, 분자가 어떻게 변하고 있는지 따로 관찰하여라.

힌트2 : 분모는 0으로 가고 분수 전체는 상수로 수렴하면 분자 역시 ( )으로 수렴한다.(22쪽)

극한 상위권 심화 문제에 온 것을 환영한다.

보통은 주어진 것, 즉 1,2번 식에서 f(x), g(x)의 극한값을 구해 3번에 대입하면 되는데 이 문제는 그게 쉽지 않아 고난이도 문제이다.

기억하자. 이럴 때는 대입이 가능하도록 식을 변형하는 것이 핵심이다. 꼭 기억하여라.

그리고 우리가 구해야 하는 극한의 형태는 분수 꼴이다. 분수 식 변형은 상당히 제한적이다. 보통 거의 대부분 분모, 분자를 똑같은 식으로 곱하거나 나누는 게 대부분이다. 이 문제 역시 분모, 분자를 똑같은 식으로 나누는 방식의 식 변형을 거칠 것이다.

따라서,

“3번 식의 분모, 분자를 적절히 뭔가로 나눠서 대입이 가능하도록 해야겠다”

는 생각이 들어야 한다. 그러면 뭘로 나눌 것인가.

1번 식에서 g(x) 무한대로 발산한다고 되어 있는데 무한대는 어디에도 대입할 수 없는 녀석이다. 하지만 역수를 취하면

을 얻고 이것은 극한값이 존재하는 것이므로 대입하는 데 활용할 수 있다. 이를 활용할 수 있도록 우리는 3번 식의 분모, 분자를 ( g(x) )로 나눌 것이다.

이와 비슷하게 생긴 문제를 많이 풀다보면 처음에는 어려워보이지만 대부분은 1)분수꼴이고, 2) 분모,분자를 무언가로 나눈다는 경험적 통계치를 얻을 수 있을 것이다. 그런 경험적 노하우를 얻는 것도 도움이 되겠다.

힌트1 : (늘 그렇듯이 분수꼴 극한이므로) 분모, 분자가 어디로 가는가?
힌트2 : 이를 알기 위해 [ f(x) ]의 극한값을 알아야 한다.
힌트3 : 힌트2를 위해 부등식에 x가 0으로 가는 극한을 취하면?

팁 : 변 3개짜리 부등식을 보면 극한 대소 관계(샌드위치 정리) 를 떠올리도록 연습하는 것도 나쁘지 않다. (23쪽)

힌트1 : f(4)=9 임을 이용하기 위해 주어진 식에 당연히 x=4 를 대입하면 a,b에 관한 관계식을 하나 얻을 수 있다.

힌트2 : f(3)을 얻기 위해 주어진 식에 3을 대입하면 좌변이 0이 되어버린다. 그러면 f가 x=3에서 (연속)임을 이용하여 f(3) 대신 무엇을 구하면 되는가?

힌트1 : 주어진 극한에서 변수는 t 이므로 x는 상수이다.
힌트2 : t가 무한대가 아니라 -무한대로 가고 있다. 이런 경우 웬만하면 -t를 새로운 문자 s로 치환하여라. (이는 26쪽 9번 문제에서 설명하였다.)

힌트3 : 그러면 무한대/무한대 꼴의 극한이 되므로..

힌트1 : ‘적어도 몇 개의 실근이 존재하는지’라는 문구에서 이 문제는 ( 사잇값 ) 정리라는 것을 알아차려야 한다.
힌트2 : 열린구간(-1,2)에 한꺼번에 사잇값정리를 적용하지 말고, 열린구간 (-1,0), (0,1), (1,2)에서 각각 적용해보아라.