(65~67쪽) II. 1. 미분계수와 도함수 중단원 학습 점검 힌트

평균변화율 공식에 a=0, b=2를 대입하여라.

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힌트1 : x=0에서 연속이려면 만족해야 하는 3가지 조건이 뭐더라? (연속의 정의, 32쪽)
힌트2 : x=0에서 미분가능하려면 그래프가 x=0에서 뽀족하면 안 된다. 그래프를 그려 보아라.

2번과 같은 문제.

-1에서 1까지의 평균변화율을 식으로 적어 보아라. a에 관한 방정식이 나올 것이다.

영상을 꼭꼭 시청 바란다.
(클릭) 영상 바로가기 (2분 55초부터 6번 문제 시작)

1번 부분에서, 접선기울기가 4 -> f ‘ (2) = 4 임을 알 수 있다.
2번 식을 적절히 인수분해하여 f ‘ (2)를 만들어 보아라.

힌트1 : 계속 나왔던 부분이다. 분모->0이고 분수 전체가 5로 수렴하므로 분자 ( -> 0 ). (교과서 22쪽 예제3). 따라서, f(4)의 값을 구할 수 있다.

힌트2 : f(4)=1을 구했을 것이다. 이제 주어진 식의 분자에서 1 대신 f(4)를 대입하여라.

x=2에서 미분가능하므로, x=2 좌우에서 미분계수값이 같아야 한다. 하지만, 그러려면 주어진 두 식을 미분해야 하는데 우리는 분수꼴의 함수를 미분할 수 없다.

미분가능하면 어떤 성질도 성립하더라?

맞다. 연속이 된다.

즉, x=2에서 연속임을 이용하여라.

tip) 반드시 기억하자. 미분가능하면 연속이다. (교과서 57쪽)

a,b값을 구하는 전형적인 문제다. 주어진 조건으로부터 a,b에 관한 식을 2개 추출해 연립해야 한다.

1,2번 식이 각각 a,b에 관한 식이 될 것이다. 이를 연립하여라.

늘 이야기하지만 수학문제는 ‘주어진 것’과 ‘구하는 것’을 연결지어가는 과정이다.

주어진 것 : f (x), 구하는 것 : f ‘(-1)

f(x)에서 f'(1)을 구하기 위해 [1단계] f(x)를 (미분)하고, [2단계] x=(1)을 대입해야 한다.

영상을 꼭꼭 시청 바란다.

(클릭) 영상 바로가기 (7분 50초부터 12번 문제 시작)

곡선 y=f(x)가 점 (1,1)을 지난다는 말에서 f(1)=1 임을 알아야 한다.
“접선의 기울기”=”미분계수”=”순간변화율”=f’ 임을 늘 기억하자!

1번에서 a를 알려면 a에 관한 관계식 1개가 필요하다. 식 2가 바로 그 관계식이다.
따라서, 식2에서 a의 값을 알아내어 1번에 대입하면 끝.

이 문제는 처음 푸는 사람은 누구나 틀리게 마련이다.

이 식이 매우 생소하기 때문이다.
‘구하는 것’이 f'(2)이므로 미분계수의 정의를 이용해 f'(2) 식을 쓰면 분자가 f(2+h)-f(2)가 된다. 여기에 위 식을 이용하여라.

그런데 이 문제는 그냥 풀이 영상을 한번 제대로보고 마스터하는 것이 가장 좋다.
(클릭)영상 보러 가기(2분22초부터)

힌트1. 분수 전체가 수렴하고 분모가 0으로 수렴하면 분자 역시 ( 0으로 수렴 )
힌트2. 아래 파란색 부분에서 힌트를 얻어 x+1를 t로 치환하고 식을 t에 관해 정리하자.

힌트1. 다항식 나눗셈 복습 (고1)

문제에 제시된 나눗셈 상황을 위와 같이 A=BQ+R 형태로 적어 보아라.

이 식에서 Q(x)를 모르기 때문에 x=1을 대입해서 식Q(x)를 아예 없애버리면 a,b에 관한 관계식 1개를 얻을 수 있다. 미지수가 a,b 총 2개이므로 관계식이 1개 더 필요하다.
1번 식의 양변을 미분한 식을 잘 이용하면 a,b 관계식을 1개 더 얻을 수 있다.




힌트2.