(96~98쪽) II. 2. 도함수의 활용 중단원 학습 점검 힌트

접선의 방정식 공식을 알면 풀 수 있는 기본적인 문제. 안 풀리면 기본기가 약하다는 뜻으로, 기본으로 돌아가 71쪽 공식, 72쪽 예제를 복습하고 올 것

수업시간에 자세히 여러차례 연습했던 문제다.
미분하여 y= f ‘(x) 그래프 그려서 f ‘ 의 ( 부호 )를 파악하고 이로부터 f의 증감을 파악하여라. (81쪽 예제2번 복습)

1차고사 시험범위 아님.

접선 기울기는 f ‘ (x) 이다.
따라서, “접선의 기울기가 최대”는 곧 “f ‘(x)가 최대”임을 의미한다.

곡선 밖에서 그은 접선에 관한 문제이다.
접점의 좌표가 문제에 주어지지 않았을 때는 무.조.건. ( 접점 )의 좌표를 직접 둔다.

롤의정리, 평균값정리 예제와 똑같은 문제이므로, 이 문제가 막힌다면 예제를 복습하자.

힌트1 : 하늘색 상자는 곧 ‘함수의 증가’ 정의이다. 즉, 이 문제는 주어진 삼차함수 f(x)가 “증가”할 조건을 구하라는 문제이다.
힌트2 : 일반적으로는 ‘함수의 증가’와 ‘f ‘(x)>=0’ 사이에 필요충분조건이 성립하지 않는다. 하지만 삼차함수에서는 두 개가 정확히 필요충분조건이다. 따라서, ‘증가하는 삼차함수’를 구하기 위해 ‘f ‘(x) >= 0 인 삼차함수’를 대신 구해도 무방하다.
이는 앞으로 고난이도 문제를 풀 때 중요한 개념이므로 반드시 영상을 꼼꼼히 시청하자.
(클릭) 영상 보러 가기 (15분11초부터)

극값을 판정하는 문제다.
1) f ‘(x)=0을 만족하고,
2) f ‘ 의 부호가 변하는
점을 찾으면 된다. (83,84쪽 복습)

81쪽 예제2번을 제대로 복습했다면 쉽게 풀 수 있다.
주어진 f ‘(x) 그래프를 통해 f ‘(x)의 부호 변화를 관찰하고 이를 통해 f(x) 그래프 개형을 그려 보아라.

최댓값 : 극댓값과 양쪽 끝값들 중 최댓값
최솟값 : 극솟값과 양쪽 끝값들 중 최솟

힌트1 : (구하는 것)이 “직사각형ABCD의 넓이”의 최댓값이므로, “직사각형ABCD의 넓이”를 변수 x에 관한 식 f(x)로 나타내어야 한다.
힌트2 : 점 A,B,C,D 중 적절한 점 하나를 골라 좌표를 변수 x에 대해 나타내자.

부등식 f(x)>0 이 성립하려면 f(x)의 그래프가 x축보다 위에 그려져야 한다. 미분을 통해 f(x)의 그래프 개형을 그려 보아라.

운동방향이 바뀐다는 말은 속도의 부호가 변한다는 뜻이다. 속도의 부호가 변하는 지점에서는 일단, 속도가 0이 되는 수밖에 없다.

열린구간(-1, 2)에서, f ‘의 부호가 (+)에서 (-)로 변하는 점도 있어야 하고, (-)에서 (+)로 변하는 점도 있어야 한다. 이를 만족하는 f ‘(x)의 그래프를 그려보면 아래와 같다.

f ‘(x)의 그래프가 위와 같이 그려지려면 어떤 조건들을 만족해야 하는가?

# 조언
– 사실 특정 구간(범위)에서 무언가가 존재하도록 하는 문제는 고1~고2 내내 까다로운 킬러 문제에 등장하며 학생들을 괴롭혀 왔다. 고1의 경우, ‘이차방정식의 실근이 존재하도록’, 고2의 경우 이렇게 ‘극대, 극소가 존재하도록’과 같이 대상을 바꿔가면서.
그러니, 한번쯤은 이런 유형을 깔끔히 정리하고 넘어가는 것도 좋은 방법이다.
(클릭) 특정 범위에서의 조건 만족하는 함수 구하기 유형 글 보러 가기

이항하면, 3x³-9x=k+2가 된다.
f(x)=3x³-9x, g(x) = k+2라 하자.
y=f(x) 그래프를 그리자. (인수분해 이용)

빨간색 밑줄의 내용은 곧

f(x), g(x) 그래프가 x>0인 범위에서 2개 점에서, x<0인 범위에서 1개 점에서 만난다는 말과 같다. ….(*)

(*)를 만족하려면 상수 함수 g(x)= k+2가 어디에 그려져야 하는가?

(구하는 것)이 물의 부피의 변화율이므로, 물의 부피를 시각 t에 관한 함수 V(t)로 나타내어야 한다. 여기에 원뿔의 부피 공식이 필요하다.

“매초 2cm의 속도로 수면의 높이가 상승”한다고 하였으므로, 높이는 ( 2t )가 된다.

필요한 길이와 주어진 길이를 모두 그림에 표시하면 아래와 같다.

따라서, 두 삼각형의 닮음을 이용하여 물의 부피 원뿔의 반지름 길이와 높이를 t에 관한 식으로 나타내자. 그러고 나서, 물의 부피를 구하자.