(범과목) 가우스 기호, 가우스 함수

들어가며

가우스 함수는 교육과정에 공식적으로 속한 개념은 아니다. 하지만, 수학II에서 배우는 함수의 불연속과 관련되어 문제로 출제되기도 한다.

교육과정에 속한 개념이 아니기 때문에 아래와 같이 문제에 가우스 함수의 뜻이 실려 있다. 학생은 괄호 속의 가우스 함수 뜻을 보고 문제를 풀 줄 알아야 한다.

사실 [x]가 가우스함수라는 것을 몰라도, 또 가우스 함수에 대해 따로 공부하지 않아도 파란 박스 속 문구만 보고 문제를 푸는 데 지장은 없다. 하지만, 문제 풀이 시간 단축을 위해 한 번 짚어보는 것도 나쁘지 않겠다.

가우스 함수의 뜻

[x] : x보다 크지 않은 최대의 정수

이것이 x에 대한 가우스 함수의 뜻이다. 예를 들어, [1]은 1보다 크지 않은 최대의 정수이므로, [1]=1이다. 마찬가지로 모든 정수 n에 대해, [n]=n이 된다.

///그림넣기///

[1.5]는 얼마일까? [1.5]는 1.5보다 크지 않은 최대의 정수이므로, 아래 수직선에서 확인할수 있듯이 1이 된다. 즉,

[1.5] = 1

이다. 마찬가지로,

[2.9] = 2
[11/2] = [5.5] = 5

이런 식이다.

가우스 함수의 그래프

가우스 함수 또한 실수 전체를 정의역과 공역으로 가지는 함수이므로 좌표평면 상에 그래프로 나타낼 수 있다. y=[x]의 그래프를 그려 보자.

[0] = 0, [1]=1

이고,
0<k<1인 모든 실수 k에 대해,

[k] = 0

이므로, 닫힌구간 [0,1]에서의 y=[x] 함수의 그래프를 그리면 아래와 같다.

따라서, 실수 전체에서 y=[x] 그래프는 아래와 같다.

가우스 기호를 씌운 y=[f(x)] 함수 그래프

이제, 가우스 기호 안에 일반적인 함수 f(x)가 들어간 형태의 함수 y=[f(x)]의 그래프 개형을 그리는 법을 알아보자.

첫째, f(x)의 값이 정수일 때는 [f(x)] = f(x)
둘째, f(x)의 값이 정수가 아닐 때는 f(x)보다 크지 않은 최대 정수가 함숫값이 된다

는 점을 기억하자.

그러면 y=[f(x)] 그래프를 그리는 법은 아래와 같다.

[1단계] y=f(x) 그래프를 그린다. (아래는 f(x)=x² 인 경우.)

[2단계] 함숫값이 정수가 아닌 경우 함숫값을 조정 (그래프가 계단형이 되게 내려앉히기)

문제

간단한 문제를 풀어보며 감을 익히자.

Q. y=[x-2] 그래프를 그리고 닫힌구간 [0.5, 4.5] 에서의 불연속점의 개수를 구하시오.

정답 및 풀이 보기

y=[x-2] 의 그래프 개형은 아래와 같다.

그림 넣기

따라서, 닫힌구간 [0.5, 4.5]에서의 불연속점은 4개이다.