다항식+다항함수+다항방정식

들어가며

f(x) = 2x³ -4x² +5x +7

이것은 삼차 다항식이다.

이를 y=f(x)라고 나타내면 y는 x에 관한 삼차 다항함수다. 그리고 f(x)=0은 삼차 다항 방정식이다. 정리하면 아래와 같다.

• f(x) : 다항식
• y=f(x) : 다항함수
• f(x)=0 : 다항방정식

고난이도 문제에서는 다항식을 추론하여 다항함수의 그래프를 구하거나, 다항방정식의 실근의 개수를 구하는 문제가 자주 나온다. 오늘 이에 대해 깊이 분석할텐데, 이는 식, 함수, 방정식을 정확히 구별하여 이해하는 것부터 출발한다.

(고1) 인수정리

먼저 고등학교 1학년 때 배운 인수정리에 대해 복습하자.

인수정리 f(x)가 다항식일 때, 1),2)는 필요충분조건이다. 1) f(a) = 0 (즉, a는 방정식 f(x)=0의 한 실근) 2) f(x)는 x-a로 나누어 떨어진다. (즉, f(x)는 x-a를 한 인수로 갖는다.)

예를 들어, 방정식 f(x)=0이 x=2를 한 실근으로 갖는다고 하면, 다항식 f(x)는 x-2를 인수로 가지며,

f(x) = (x-2)Q(x) (Q(x)는 어떤 다항식)

로 나타낼 수 있음을 뜻한다. 보다시피, 방정식의 실근으로부터 다항식의 인수를 알아내었다.

방정식 실근과 그래프-x축 교점

교과서에 명시적으로 나와 있지는 않으나 중학교 수학 및 고1 이차방정식 단원에서 암묵적으로 배운 내용이다.

식 f(x), g(x)에 대하여 다음이 성립한다. (방정식 f(x)=0의 실근) = (함수 y=f(x)의 그래프와 x축의 교점의 x좌표) (방정식 f(x)=g(x)의 실근) = (함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프 교점의 x좌표)

실제로 ‘수학의 정석’ 교재에 아래와 같이 삽화와 함께 나와 있다.

예를 들어, 아래와 같이 삼차함수 그래프가 x축과 x= -1, 1, 2 인 점에서 각각 만난다면,

방정식 f(x)=0의 실근이 -1, 1, 2라는 뜻이다. 방금 위에서 복습한 인수정리까지 적용하면 다항식 f(x)가 다음과 같은 인수를 갖는다는 것을 알 수 있다.

x+1, x-1, x-2

f(x)는 삼차다항식이므로,

f(x) = k(x+1)(x-1)(x-2)

꼴임을 알 수 있다. (k는 양의 실수)

즉, 다항함수 y=f(x)의 그래프 개형으로부터 다항식 f(x)를 추론하였다. 이처럼, 함수, 식, 방정식을 연결지어 이해하고 추론하는 문제는 자주 등장한다.

f(a)=0, f ‘(a)≠0

어떤 다항식 f(x)가 f(a)=0, f ‘(a)≠0 를 만족하면 이는 다항식의 측면, 방정식의 측면, 함수 그래프의 측면에서 다음과 같은 필요충분조건이 성립한다.

간단한 문제 몇 개 풀어보면서 감을 익히자.

Q. 최고차항의 계수가 1인 사차함수 f(x)의 그래프 개형이 아래와 같다. f(x)의 식을 구하여라.

풀이는 다음과 같다.

함수 f(x)와 x축 교점 x좌표가 1,2,3,4이므로, f(x)는 다음과 같은 인수를 가진다. x-1, x-2, x-3, x-4 그리고 최고차항의 계수가 1이므로 f(x)의 식은 다음과 같다. f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

f(a)=0, f ‘(a)=0

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