(수학II)미분계수와 함수 증감의 상관관계 및 삼차함수의 특수성

들어가며

미분계수와 함수의 증감 사이에는 어떤 관계가 있는가?

이와 관련된 개념은 아래와 같다. (비상교과서 80쪽)

즉, 미분계수가 양수면 함수는 증가, 미분계수가 음수면 함수는 감소한다는 상관관계가 있다. 이는 미분계수 부호와 함수 증감을 이어주는 중요한 내용으로, 그 증명에 평균값 정리가 쓰인다는 점에서 평균값 정리가 왜 미분에서 가장 중요한 정리인지 보여주는 내용이기도 하다.

교과서에는 위 내용에 바로 이어 아래와 같이 설명한다.

즉, f ‘(x)> 0 는 f(x)가 증가한다는 조건의 충분조건은 되지만 필요조건은 되지 않는다.

f ‘ 와 f증감 간의 정확한 상관관계

수학자들은 늘 명제가 참이 아니라 해서 내버려두지 않았다. 저 x를 o로 기어코 만들고자 하는 것이 수학자들의 습성이다. 실제로 수학적 지식은 추측에 대한 반례를 제시하고, 증명을 분석하여 추측을 개선하고, 이를 통해 새로운 개념이 발견되는 방식으로 발전해 왔다. 지금 이 정리도 조건을 살짝 수정하여 참인 명제로 만들 수 있다면 조금 더 쓸모 있는 개념이 될 것이다.

함수 f(x)=x³ 가 반례인 이유는 f ‘(x)의 부호가 음이 되는 다이나믹한 반전이 있어서가 아니라 x=0일 때 잠깐 f ‘(x)부호가 0이 된다는 데 있다. 이를 통해 f ‘(x)의 부호를 0까지 확장해 주면 명제를 참으로 만들 수 있다는 단서를 얻을 수 있다. 이를 종합하면 아래와 같이 기존 정리를 확장한 지식을 얻는다.

이를 통해 f ‘(x)의 부호와 f의 증감 간 관계를 더 정확히 설명할 수 있게 된다.

삼차함수의 특수성

f(x)를 삼차함수로 제한하면 놀랍게도 f(x)가 증가함수라는 조건과 f ‘(x)>=0 이라는 조건 간에 필요충분조건이 성립하게 된다. 정확한 증명 대신 약식으로 설명하면 아래와 같다.

따라서, 조금 전 개념을 더 정확하게 다듬어 아래와 같이 지식을 확장할 수 있다.