문제를 풀고 나서 맞혔다고 동그라미만 치고 그냥 지나가지 말고 바닥까지 분석하고 지나가라는 말을 수업 시간에 자주 하였다. 오늘은 그 예시를 알아보자.
아래는 수학II 교과서의 한 문제이다.
이와 관련한 개념은 아래와 같다.
이 개념대로라면, f(x)가 증가한다는 것은 f(x)>0와도, f ‘(x)>=0와도 필요충분조건이 아니기 때문에 문제를 어떻게 풀어야 하는지 막막할 수 있다. 실제로는, f ‘(x)>=0임을 이용하여 아래와 같이 푼다.
많은 학생들이 우연히 f ‘(x)>=0로 풀고 정답을 맞히고는 별다른 고찰 없이 넘어가곤 한다. 하지만, ‘증가’가 곧 ‘f ‘(x)>=0’을 의미하는 것이 아닌데 왜 이 문제는 두 개념을 같다고 두고 풀었는지에 대해 명확히 짚고 넘어가야 한다. 여기서 분석이 시작된다.
이 문제에서 두 개념을 필요충분조건처럼 두고 풀어도 되는 이유는 f(x)가 삼차함수이기 때문이다. 삼차함수에서는 두 개념이 필요충분조건이 된다. 정확한 증명은 이해하기 어려울 것 같아서 약식으로 이유를 설명하면 아래와 같다.
이와 같이, 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수의 그래프 증감 유형은 기껏해야 3가지밖에 되지 않기 때문에 일일이 조사하면 삼차함수의 경우에는 ‘증가’와 ‘f ‘(x) >=0 ‘이 정확히 동일함을 얻을 수 있는 것이다.
“삼차함수라서 가능한 것이구나”
이를 깨달았다면, 조금 전 개념을 더 정확하게 다듬어 아래와 같이 지식을 확장할 수 있다.
이렇게 반문할 수도 있다.
“그럼 처음부터 교과서에 명시하지 왜 문제를 분석해야 알 수 있게 해 놓았나요?”
어떠한 문제 상황도 없이 온갖 수학적 지식을 나열만 해 놓으면 그것이 와닿을까? 외계어처럼 보일 것이다. 문제 상황에 부딪혀 보고 필요성을 충분히 인식한 가운데서 학생 스스로 개념을 정교화해 나가면 비로소 학생 자신에게 충분히 내면화된 지식이 될 수 있다.
교과서 응용 문제는 학생을 평가하기 위해 있는 것이 아니다. 개념을 더 구체화할 수 있는 기회 역할을 한다. 따라서, 이러한 분석을 하지 않고 넘어간다면 개념을 구체화할 기회를 저버리고 단편적으로만 이해하고 넘어가게 된다.
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