[수학I] 수열의 귀납적 정의 이용한 역추론(역추적)

2022수능 예시문항 15번

2020년 7월, 2022 수능 예시문항이 공개되면서 수능 수학의 수열 파트에서 신유형 문제가 등장했다. 아래 문제이다.

a₅ 로부터 거꾸로 a₁ , … , a₄ 를 추론해야 하는 새로운 문제라서, 처음 보았을 때 많이들 당황했다. 거꾸로 추적한다 해서 사람들이 ‘수열 역추적’ 문제라고 부르기 시작했는데, 아래와 같이 주어진 식(주어진 수열의 귀납적 정의)과 구하는 것에서의 a_n , a_n+1방향이 다른 것이 이 유형이 어려운 포인트다.

헷갈리지 않기 위해, ‘주어진 것’을 아래와 같이 n+1항에서 n항을 구하는 방향으로 바꿔 정리하자.

이제 가지치기 수형도를 그려서 1항,…4항을 추적할텐데 이 과정에서 쓰이는 노드를 정리해 보면 아래와 같다. 이처럼 가지치기에 필요한 노드를 한번 정리하면 편리하다. (개인마다 성향이 다르니, 참고만 하도록.)

이를 바탕으로 5항에서 1항까지의 추론 과정을 뻗어 나가면 아래와 같다.

기존의 정방향 추론에서는 수열의 귀납적 정의를 이용하면 n번째 항의 값이 유일하게 결정되지만 역추론은 a₁ 의 값이 여러 개가 나올 수 있어, 실수하면 놓칠 수 있다는 점이 이 유형이 어려운 두번째 포인트다.

따라서, 최댓값 M과 최솟값 m을 가지는 경로를 파악해, 사칙연산만 해 주면 쉽게 문제를 풀 수 있다.

풀고 보면, 전혀 15번스럽지 않은 무난한 난이도라는 것을 알 수 있다. 평가원의 메시지는 “이 유형으로 출제하되, 난이도는 15번 수준으로 올리겠습니다.”였을 것이다. 실제로, 이 문제 이후로, 15번 수열 역추적 문제의 난이도는 준킬러 수준으로 상승하였다.

2024학년도 수능 15번

2024학년도 수능(2023년 11월 시행) 문제이다.

역시, 귀납적 정의 식을 뒤집어 표현하고 노드를 구하면 아래와 같다.

a6, a7 간의 관계가 노드1, 노드2 중 어느 노드에 해당되느냐에 따라 경우의 수가 아래와 같이 2가지로 나뉜다.

각 경우에 대해서 가지치기를 하면 아래와 같다. 이 문제는 가지치기를 하는 도중 크게 막히는 부분이 없다.

따라서, 답은 48 + 105 = 153 이다. 무난한 문제였다.

2024학년도 고3 7월 15번

이번에도 주어진 귀납적 정의를 n+1항에서 n항을 구하는 방향으로 바꿔 정리하자.

이제, 이에 따라 a₇ 에서 역순으로 가지치기 해 나가면서 a₁ 로 나아갈 것이다. 각 가지치기 단계 마다 필요한 노드는 아래와 같다.

a7에서 a6으로의 첫번째 가지치기는 아래와 같다. 노드1, 노드2 모두 유효하기 때문에 가지는 2갈래다.

a5까지 가지치기를 하면 아래와 같다. (*)에 주목하자. (*)를 반환하는 노드를 허용해도 되는 것일까.

만약  ±√2+1 을 a5로 허용하면 그 다음 노드는 아래와 같다. 보다시피, a1이 자연수가 될 수 없으므로 가정에 모순이다.

따라서 (*)는 허용하면 안되는 노드라서 버려야 한다. 그리고 이런 값을 반환하지 않기 위해 an이 적어도 양의 정수가 되어야 하며, 따라서 an+1은 완전제곱수가 되어야 한다는 조건을 추가하여 노드2를 더 정교하게 고칠 수 있다.

필요없는 노드를 버리고 정리하면 아래와 같고,

마지막 단계까지 진행하면 아래와 같다. 중간 중간에 노드가 재활용되므로 일일이 매 단계마다 새로 가지를 치지 말고 기존의 노드를 적절히 재활용하자. 실수를 줄일 수 있다.

따라서 답은

64+10+24+16+6+4+1

즉, 125이다.

2025학년도 고3 3월 21번

메이저 모의고사 중에서는 이 문제가 이 유형의 문제 중 가장 고난이도였던 것 같다.

주어진 귀납적 정의 식의 좌변을 a_n 으로 만드는 첫 단계부터 멈칫하게 되는데, 바로 아래와 같이 a_n <3 인 경우의 관계식을 딱히 정리할 수 없기 때문이다.

기출문제를 자주 풀고 패턴을 익혀두면 좋은 이유가 이런 것이다. 평소와 다르게 막히는 부분을 포착하고 이 부분이 이 문제의 트리거임을 빠르게 파악할 수 있다.

하지만, 다행히 노드를 정리해 보는 것은 가능하다.

일단, 가지치기를 시작하면 아래와 같이 a₄ 에서 멈추게 된다. 일단 a₄ 의 값을 모르니, 그냥 a₄ 라고 두고 가지치기를 계속하자.

a₄ 의 아래에 적은 것은 a₄ 의 정확한 값을 얻어낼 수 없는 대신 a₄ 에 관한 모든 단서(범위 등)를 적은 것이다. 이 단서들을 조합하다보면 실마리가 풀릴 것이다.

그리고 가지치기를 한 단계 더 진행했더니 a₄ 의 범위가 더 구체화되었다.