삼차함수 비율관계
극대, 극소를 갖고 최고차항 계수가 양수인 삼차함수 f(x)의 그래프에 대해 다음이 성립한다.
1.그래프
극대, 극소를 갖는 삼차함수 그래프는 극대점과 극소점의 중점에 대해 대칭이다. 이 중점을 앞으로 대칭점이라 하겠다.
실제 명칭은 ‘변곡점’이지만 변곡점이라는 용어는 고3 때 배우므로 여기서는 대칭점이라는 가상의 이름을 붙인다.
2.비율 1:2 성립
극점을 지나고 x축에 평행한 직선을 그으면 아래와 같이 1:2 (또는 2:1) 비율이 성립한다. 이는 미분 없이 바로 삼차함수의 극점을 구할 때 유용하게 쓰인다.
특히, 대칭점까지 고려하면 아래와 같이 1:1:1:1 비율이 성립한다. (녹색 선분끼리 길이가 같으니 1:1:1:1이 성립)
Q. 아래 삼차함수 그래프가 극댓값을 갖는 점의 x좌표 즉 k의 값은?
A. 정답 보기
k-1 : 4-k = 1 : 2 이므로, k=2 이다.
3.비율 1: √3 성립
대칭점을 지나고 x축에 평행한 직선을 그으면 아래와 같이 1:√3 비율이 성립.
Q. 아래 그래프 상의 k의 값은?
A. 풀이와 답 보기
4.비틀어도 성립하는 비율관계
1번과 2번의 그래프를 비틀어도(기울여도) 비율관계는 성립한다.
5.예시
지금까지 배운 비율관계가 실제로 문제에서 어떻게 유용하게 쓰이는지 알아보자.
[예] 함수 f(x)= x(x2 -3) 의 극댓값은?
풀이와 답
인수분해하면,
f(x) = x(x+√3)(x-√3)
이므로, 그래프를 그리면 아래와 같다.
여기에 1:√3 비율관계를 적용하면 아래와 같이 극댓점의 x좌표를 구할 수 있다.
a : √3 = 1 : √3
이므로, a=1 이다. 따라서,
(답)=(극댓값) = f(-1) = 2 이다.
댓글 남기기