I.교육과정 분석
교과목/단원: 대수 수열
핵심아이디어: 수열은 나열된 대상의 규칙을 수학적으로 표현하고 이해하는 데 활용된다.
범주에 따른 내용 요소:
- (지식⋅이해) 등차수열과 등비수열, 수열의 합
- (과정⋅기능) 적절한 전략을 사용하여 문제해결하기, 등차수열과 등비수열의 일반항과 그 합 구하기
성취기준:
- [12대수03-02] 등차수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째항, 제n항까지의 합을 구할 수 있다.
- [12대수03-03] 등비수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째항, 제n항까지의 합을 수할 수 있다.
II. 단원 수준 설계
- 단원(학습기간): 대수 III.수열 – 등차수열의 합과 등비수열의 합 (총 6차시)
- 영속적 이해(단원 핵심 아이디어)
1) 등차수열, 등비수열의 경우, 첫 항, 공차, 공비만 알면 그 합을 구할 수 있다.
2) 금융상품의 원리합계는 대개 등차수열, 등비수열의 합이다.
- 평가계획
아래와 같이 실제 금융상품을 보고 수열의 구조를 파악하여 원리합계를 구하는 방식을 설명하도록 한다.
<평가 문제>
| Q. 연이율이 3.6%인 정기적금에 매월 10만원씩 저축하면 3년 말 원리합계는? |
<성취수준>
| A : 등차수열임을 파악하여 첫째 항, 공차, 항의 개수를 알아내고 능숙하게 식을 세울 수 있다. B: 등차수열임을 파악하여 첫째 항, 공차, 항의 개수를 부분적으로 알아낼 수 있거나, 식을 부분적으로 세울 수 있다. C: 등차수열임을 알아낼 수 있으나 그 합을 구하는 데 필요한 것이 첫째 항, 공차, 항의 개수라는 것까지는 알아내지 못한다. |
- 각 차시 수업 간략 설계
[1차시] 등차수열의 합 공식 발견
[2차시] 등차수열의 합에 관한 예제 풀이와 상호 가르치기
[3차시] 등비수열의 합 공식 발견
[4차시] 등비수열의 합에 관한 예제 풀이와 상호 가르치기
[5차시] 단리법과 복리법 그리고 예제 풀이
[6차시] 수열의 합을 통한 합리적 투자 의사결정
III.6차시 수업모형과 수업 의도
이 단원의 6차시인 ‘수열의 합을 통한 합리적 투자 의사결정’수업의 모형은 블렌디드 교수학습 모형(강의식 수업 + 실생활 문제 기반 학습)으로 설정하였으며, 그 중 실생활 문제 기반 학습(Real-world Probelm Based Learning)에 관한 내용은 다음과 같다.
실생활 문제 기반 학습
실생활 문제 기반 학습이란 학생들이 실제 삶에서 접할 수 있는 문제를 해결하는 과정을 통해, 필요한 지식을 스스로 습득하고 문제 해결 능력을 기르는 교수학습방법이다.
실생활 문제 기반 학습의 주요 특징은 다음과 같다.
- 실제성(Authenticity): 가상의 시나리오가 아니라 학생들의 실제 주변 현실을 다루는 문제 상황이어야 한다.
- 비구조화된 문제(Ill-structed Probelm): 조건이 불충분하거나 너무 복잡하여 학생들이 스스로 가정을 세우고 타당한 해결 경로를 선택해야 하는 열린 문제이다.
- 자기주도적 학습 및 협동: 교사가 모든 것을 설명해 주지 않는다. 학생들은 모둠 활동을 통해 배운 적 없는 개념을 직접 찾아내고 탐구하며 협동하여 해결책을 찾아낸다.
프로이덴탈의 현실주의 수학교육 기준
- 현실적 맥락성: 문제는 학생들의 삶이나 상상 속에서 현실적으로(Realistic) 받아들여질 수 있는 맥락에서 출발해야 한다. 단순히 수학 공식을 연습하기 위해 인위적으로 만들어진 가짜 문장제 문제는 제외된다.
- 수학화 과정: 비수학적인 실제 현상(예: 복잡하게 증가, 감소하는 주식 흐름)을 관찰하여 이를 수학적 수식(예: 지수함수)으로 나타내는 수학화 과정이 반드시 존재해야 한다.
OECD PISA의 수학적 소양(Mathematical Literacy) 모델
PISA는 실생활 문제를 해결하는 수학적 능력을 평가하기 위해 수업 과정에 포함되어야 할 단계를 아래와 같이 명시한다.
- 수학적 정식화(Formulate): 실생활 문제 상황에서 불필요한 정보는 버리고, 핵심 변수를 추출하여 수학적 구조(식, 함수, 수열)로 변환하는 단계
- 수학적 적용: 변환된 수학적 도구와 계산기 등을 이용해 수학적 결과를 얻어내는 단계
- 수학적 해석 및 평가: 도출된 결과를 다시 실생활 맥락에 비추어 해석하고 평가하는 단계
수업 의도
1차시에서 등차수열, 등비수열의 원리합계 공식을 구조화하여 학습(강의식 수업)한 후, 2차시에서 이를 실제 시중 은행 상품의 원리합계 및 세금 계산에 적용하는 실생활 문제 기반 학습을 설계함. 정형화되지 않은 실제 금융 데이터와 세금이라는 실제적 제약 조건을 해결하는 과정을 통해 수학의 실용적 가치를 인식하고 수학적 모델링 능력을 함양하고자 함.
IV. 차시수업 계획
[1] 단원 내 이번 수업 차시
이번 수업은 아래 총 6차시 중 여섯번째인 6차시에 해당한다.
[1차시] 등차수열의 합 공식 발견
[2차시] 등차수열의 합에 관한 예제 풀이와 상호 가르치기
[3차시] 등비수열의 합 공식 발견
[4차시] 등비수열의 합에 관한 예제 풀이와 상호 가르치기
[5차시] 단리법과 복리법 그리고 예제 풀이
[6차시] 수열의 합을 통한 합리적 투자 의사결정 <<<
[2] 차시수업 목표
- 등차수열의 합, 등비수열의 합을 이용하여 단리형, 복리형 금융상품의 원리합계를 구할 수 있다.
[3] 도입
□ 지난 수업 내용 복습(5분)
| □원리합계: 원금 + 이자 □이자 지급 방식 1) 단리법: 최초 원금에만 이율 적용. 원리합계는 등차수열 (원금 + 기간x이자) 2) 복리법: 원금 뿐 아니라 이자에도 이율 적용. 원리합계는 등비수열 합 |
□ 생각 열기(5분)
| Q. 우리 주변의 다양한 금융 상품을 찾아보자. (적금으로 한정) -Q1. 이 상품의 이율 r은 얼마? -Q2. 이 상품에 매달 10만원씩 저축한다고 하자. 그러면 원금 A는 얼마? -Q3. 여기 등장하는 ‘세전’이라는 글자는 무슨 말일까? -Q4. 이 상품은 단리상품이다. 그러면 원리합계를 구하려면 뭘 알아야 할까? |
[4] 전개
□ 학급비 저축 금융상품 고르기(7분)
| 김해제일고 2학년 6반은 학급비 30만원을 위 금융 상품에 6개월 간 저축하려고 한다. 6개월 후 원리합계를 구해 보자. (힌트: 월이율r = 연이율/12 ) |
□ 합리적 투자 의사결정(20분)
| Q. 제일이의 납입 기간은 몇 개월? Q. 제일이의 납입 횟수는 몇 회? Q. 제일이의 원금은? Q. 어느 상품을 고르는 것이 가장 좋을지 추측해 봅시다. (이 과정에서 세금 유무(비과세란 세금을 매기지 않는 것), 단리/복리 여부 등을 관찰할 수 있도록. 2번은 이율은 높으나 단리이고, 3번은 이율은 낮으나 비과세인 점 등을 알아차리게 할 것) Q.(미션 제시) 모둠 내에서 함께 원리합계를 구하여, 어느 상품을 고르는 것이 가장 합리적일지 정하시오. |
| -AI사용 금지 -모둠별로 쓸 수 있는 공학도구는 1대. -실제 현상은 수업 시간에 배운 것만으로 깔끔하게 해결되지도 않고 계산도 깔끔하지 않을 수 있음을 안내 -모둠별 1대의 탭에 입력하는 역할 학생 1명 지정(이 학생의 역할: 모둠을 대표하여 탭에 숫자 입력, 또는 비수학적 내용 검색(예: 세금계산), 교사에게 질문 등) -복잡한 계산은 도구가 알아서 해 주도록 만들어 놓았다. 유인물에 식을 올바르게 세운 뒤 도구에 입력하도록. -혼자 하는 것이 아니라 함께 문제해결에 참여하고 함께 해결할 것. 서로 적극적으로 이해시키고 설명할 것 -중간에 세금 계산을 힘들어하면 모둠별로 1명씩 불러 교사가 세금 계산하는법을 알려주어 각 모둠에 전파하도록 함. -순회하며 발표할 모둠 선정 |
[5] 정리
□ 발표(10분)
-결과에 자신 있어 하는 모둠 발표 시키기
-반박 모둠이 있다면 추가로 발표시키고 혼란을 유도하기
-모든 모둠의 발표 결과가 같다면 만장일치로 가장 합리적인 상품을 선정하고 마무리
□ 마무리(3분)
아래 문제를 보여주며 수열의 종류, 첫항, 공차 등을 구두로 대답하게 한다.
| Q. 연이율이 3.6%인 정기적금에 매월 10만원씩 저축하면 3년 말 원리합계는? |
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