‘실수 t에 대하여’ – 변수와 상수 사이 어딘가

들어가며

모의고사, 수능에서 자주 나오는 표현인 ‘실수 t에 대하여’ 문구에 대한 모든 것을 알아보고, 관련 문제를 풀어보자.

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대표적 예제

‘실수 t에 대하여’라는 문구는 보통 4점짜리 준킬러 이상의 고난이도 문제에서 많이 나오지만, 일단은 3점짜리 쉬운 문제부터 살펴 보며 감을 익히자. 문제는 아래와 같다.

(난이도 중하) 함수 $f(x) = |x^2-4|$ 가 있다. 실수 $t$에 대하여 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 $t= \alpha$에서 불연속이 되는 모든 실수 $\alpha$의 값의 합을 구하시오.

이 문제를 아래와 같이 두 부분으로 나누었을 때,

• [파트1] 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자.
• [파트2] 함수 $g(t)$가 $t= \alpha$에서 불연속이 되는 모든 실수 $\alpha$의 값의 합을 구하시오.

[파트1]에서는 t가 상수로 취급되지만 [파트2]에서는 갑자기 t가 변수로 취급된다는 것이 이런 문제가 혼란스러운 핵심 포인트이다.

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예제 풀이

위에서 설명한 대로, [파트1]에서는 t를 상수로, [파트2]에서는 t를 변수로 취급하며 문제를 풀면 아래와 같다.

[1단계] t를 상수 취급 (이 때, g(t)는 하나의 값)

아래와 같이 t에 여러 숫자를 대입하여 g(t)의 값을 구해 보며 관찰하자.

• $t= -1$일 때 : $y=f(x)$와 직선 $y= -1$교점은 없으므로 $g(-1)=0$이다.
• $t= 2$일 때 : $y=f(x)$와 직선 $y=2$교점은 4개이므로 $g(2)=4$이다.
• $t= 5$일 때 : $y=f(x)$와 직선 $y=5$교점은 2개이므로 $g(5)=2$이다.

[2단계] t를 변수 취급 (이 때 g(t)는 함수)

이제 t를 변수로 취급하며 함수 g(t)가 어떤 함수인지 파악한다.

이하 작성중