(140~142쪽) III. 적분 대단원 마무리 힌트

f(-1)을 구하는 문제이지만 결국 f(x)를 구하는 문제이다.
f(x)를 구하려면 주어진 적분 식을 미분해야 한다.

f(0), f(-1)값을 써먹기 위해서는 주어진 식 f ‘을 적분해야 한다. 적분하면 적분상수 C가 생기므로 미지의 상수가 a, C 이렇게 2개 나온다. f(0)=4, f(-1)=2 를 정리하면 a,C를 얻을 수있을 것이다.

다항함수라는 언급이 전혀 없음을 반드시 주의하여라. 이 함수 f는 이차,삼차 등 다항함수라는 보장이 전혀 없다. 삼각함수일 수도 있고 심지어는 식이 존재하지 않는 이상한 함수일수도 있다. 그런데 다항함수로 두고 식을 구하려 접근하면 안될 것이다. 그런데 f ‘(0)=9라는 힌트가 나와 있다. 이 미분은 어떻게 처리해야 하는가?

미분에는 2가지 방법이있다.
방법1. 도함수의 정의
방법2. xⁿ

여기서는 f가 다항함수라는 보장이 없으므로 방법2를 쓸 수 없다. 따라서 도함수의 정의가 쓰인다. 이 정의 식을 처리하는 데 문제에 주어진 식이 쓰일 것이다.

첫번째 적분은 적분변수가 x, 두번째 적분은 적분변수가 t이다. 적분변수는 x든, t든 아무것이나 써도 관계없으므로 두 적분을 모두 적분변수 x로 통일하여라.

절댓값이 들어간 정적분은 어떻게 푸는 거더라? (꼭 기억)(답>> 그래프 그려서 넓이 구할 것)

문제에서 묻는 것은 극댓값이다. 적분기호에 당황하지 말고 평소 극댓값 구하듯이 하면 된다. 극댓값 구할 때는 미분해서 0되는 값부터 찾는 것이 통상적인 절차다. 따라서 주어진 식 f(x)를 미분하는 것에서 출발하는 것이 당연하다.

적분구간에 x가 들어가는 형태에 대해서는 114쪽에서 중요한 개념으로 다루었다. 꼭 복습 후 문제를 풀도록 하자.

“둘러싸인 도형의 넓이”문제는 무조건 그래프를 그려서 푼다.

낯설어서 어려운 문제임이 당연하다.

일단 역함수는 원래 함수가 그래프가 y=x에 대해 대칭임을 떠올리는 것이 중요하다. 두 적분을 좌표평면 상의 그래프 넓이로 표현하여라. 그릴 때는 당연히 대칭축인 y=x도 같이 그려야 한다.

그림을 올바르게 그렸다면, 두 적분 중 하나의 넓이를 y=x에 대해 대칭시켜 보아라.

사실 이 문제는 처음 보았을 때 혼자 풀기 억지스러운 면이있으므로 그냥 바로 영상을 보고 익히는 것을 더 추천한다.

주어진 속도 그래프를 보면 0~4초 동안은 양의 방향을 향해 사다리꼴 넓이 즉 6만큼 이동했고, 4초 때 운동방향을 바꿔 4~8초 동안은 음의 방향을 향해 두번째 사다리꼴 넓이 즉 5만큼 이동했음을 알 수 있다.

극대극소 문제다. 극대극소 문제, 최대최소문제, 증가감소문제 모두 그냥 그래프 개형 파악하면 끝나는 문제들이라고 수업시간에 여러차례 안내하였다. 마침 f ‘(x) 그래프도 주어져 있으니 아래 방향으로 점선을 이어 f(x) 그래프를 완성하여라.

-a부터 a까지의 정적분이다. 홀함수 짝함수 문제다.

함정문제.

f ‘(x)를 4x³ -3x²라고 구했다면 개념공부를 잘못한 학생이다. 114쪽에서 이 식은 F(0)-F(x)과 같음을 아는 것이 가장 가장 중요하다고 하였다. 114쪽에 필기한 내용 학습 후 풀면 올바르게 구할 수 있을 것이다.

-3부터 0까지의 적분은 -3부터 k까지의 적분과 k부터 0까지의 적분의 합으로 쪼개어 나타낼 수 있다. k에 어떤 숫자를 넣어야 문제에 나와 있는 식들을 써먹을 수 있겠는가?

예제와 다를 게 없으므로 패스. 쉬우니 스스로 해결.