(152~155쪽) II.미분 수학익힘책 힌트

문제에 제시된 나눗셈 상황을 위와 같이 A=BQ+R 형태로 적으면 다음과 같다.

모르는 것이 a,b 총 2개이므로 a,b에 대한 관계식 2개를 뽑아내야 한다.

x=1을 대입하면 a,b에 대한 관계식 1개가 나온다. 나머지 1개의 관계식은? 고민해보고 모르겠으면 아래를 펼쳐 보아라.

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생략

아래 부분들이 빨간색은 빨간색 부분끼리, 파란색은 파란색 부분끼리 모두 통일되어야 한다.

파란색부분은 1로 통일되었는데 빨간색은 통일되어 있지 않다.

보자마자 미분계수

f '(1)

의 정의

\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

로 만들라는 문제임을 간파하여야 한다.

분홍색은 분홍색ㄲ리, 하늘색은 하늘색끼리 통일되어야 한다. 하늘색은 통일되어있으니 내버려두고. 분홍색은 모두 x 또는 x² 로 통일시켜야 한다. 당연히 지금은 x² 로통일시켜야 한다.

녹색 x를 떼어버려야 한다. 어떻게? 분자에 f(1)를 뺐다가 더하여라.

그리고 분자를 하트모양으로 쪼개서, 식을 정리하여라. 이 문제는 익힘책에서 보고 모르겠다는 질문이 나오면 이상한 문제다. 중단원, 대단원마무리 문제를 풀 때 뗐어야 하는 문제다. 아래는 중단원학습점검 중 비슷한 문제 풀이영상이니 꼭 볼 것.

영상 보러가기(7번풀이중간 14분8초부터 볼 것 )

ㄱ.

이것은 아래와 필요충분조건(똑같다는 뜻)이다.

\frac {f(b)-f(a)}{b-a}

ㄴ. 쉬워서 생략.
ㄷ.

이 식은 아래와 필요충분조건(똑같다는 뜻)이다.

그러므로, 두 점에서의 평균변화율을 비교해 보아라

‘ f'(x)를 구하시오. ‘ 라는 문구에 주목하라. 도함수를 구하는 방법은 크게 2가지다.
1) 도함수 정의 식 이용
2) xⁿ 미분 공식 이용 (다항함수일때)

그런데 지금은 f(x)가 다항함수라는 언급이 전혀 없으므로 이 문제는 무.조.건. 1)번 즉 도함수 정의를 이용해야겠다는 생각이 들어야 한다.

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

여기서부터는 이 문제는 어렵다.

두 부분의 생김새가 비슷한 데 착안하여 y자리에 h를 대입해 정리해 보아라.

조언 : 이 문제는 솔직히 외우는 것이다. 일단 이해는 하되, 그 뒤로 이 풀이법은 외워놓아라.

일단, f ‘(x)이 아래와 같이 표현된다는 것까지는 다들 구했을 것이다.

여기에 x자리에 1만 대입하면 f ‘(1)을 구할 수 있을 것 같은데 문제는 분모가 0이 된다.
그런데 f ‘(x)가 연속함수라 한다. (f(x)가 연속인게 아니라 f ‘가 연속인 것)
즉, 식 (ㄱ)이 연속인 것. 그러면, 연속의 정의에 의해, (함숫값)=(극한값)이므로,

f ' (1) = \lim_{x \to1} f'(x)

이므로.. (이하생략)

패스! 비슷한 문제 교과서에 너무 많이 풀었다

힌트1. 곡선의 x=1에서의 접선의 기울기를 먼저 구하여라.
힌트2. 수직인 두 직선 기울기의 곱은 -1이다.

첫번째 식을 보면 0/0꼴임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 f(2)=3이다.
그리고 f ‘(2) = (1) (<<드래그)

문제에 제시된 나눗셈 상황을 위와 같이 A=BQ+R 형태로 적으면 다음과 같다.

모르는 것이 a,b 총 2개이므로 a,b에 대한 관계식 2개를 뽑아내야 한다.

x=1을 대입하면 a,b에 대한 관계식 1개가 나온다. 나머지 1개의 관계식은? 고민해보고 모르겠으면 아래를 펼쳐 보아라.

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