(수학I) 사인법칙, 코사인법칙으로 삼각형 풀기 2

앞 글에 이어서 설명하는 글이므로, 앞 글을 읽지 않았다면 꼭 읽고 오도록 하자.

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4.삼각형을 푸는 여러 상황

여기서는 삼각형을 푸는 여러 상황을 정리해 보겠다.

(1) 각의 크기를 구하는 상황

경우1. S,A,S 주어진 경우(단, A는 끼인각이 아님)

두 변의 길이와 각 하나의 크기 S,A,S가 주어진 상황이지만, A가 끼인각이 아니므로, 삼각형의 결정조건에 해당하지 않음을 유의하자. 즉, 이 경우는 삼각형이 하나로 결정되지 않으므로 답이 여러 가지가 될 수 있다.

예컨대, 아래와 같이 a, b, B가 주어졌을 때, 각 A의 크기를 구해야 한다고 하자. (주어진 것: 파란색, 구하는 것: 빨간색)

그러면 간단히 사인법칙에 의해 각 A의 크기를 구할 수 있다.

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} 

여기에 a, b, sinB를 대입하면 sinA를 구할 수 있다.

경우2. S,A,S가 주어진 경우(A는 끼인각)

a,b,그리고 그 끼인각 C의 크기가 주어졌을 때 각 A를 구해야 하는 상황이라고 하자.

사인법칙을 쓰려면 세 쌍의 대응변, 대응각 쌍

\; \{a, A\},\; \{b, B\},\; \{c, C\} \;

중 한 쌍이라도 대응 변, 대응 각을 모두 알고 있어야 하지만, 지금은 그런 상황이 아니므로, 한 쌍이라도 변,각을 모두 구해야 한다. c의 값을 구하자. 그러면 코사인법칙에 의해,

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

그러면 이제, a,b,c,C를 아는 상황이므로 사인법칙을 써서 각 A를 구할 수 있다.

\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} 

경우3. S,S,S가 주어진 경우

아래와 같이 세 변의 길이 a, b, c가 주어지고 각 하나(예컨대 각 A)의 크기를 구해야 하는 상황은 코사인법칙을 쓰는 전형적인 상황이다.

경우4. A,S,A가 주어진 경우

이미 각의 크기가 2개나 주어졌으므로, (세 내각의 크기 합)이 180도임을 이용하여 나머지 한 각의 크기를 쉽게 구할 수 있다.

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(2) 변의 길이를 구하는 상황

경우1. S, A, S가 주어진 경우(A는 끼인 각)

아래와 같이 a, b, C가 주어졌을 때 c를 구하는 상황을 생각해 보자.

이는 코사인법칙을 쓰는 전형적인 상황이다.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

경우2. [빈출] S, A, S가 주어진 경우 (A는 끼인각이 아님)

아래와 같이 a,b,A를 아는 상황에서 c를 구해야 한다고 하자. 주어진 각 A가 끼인각이 아니기 때문에 지금의 상황은 삼각형의 결정조건을 만족하지 않는 상황이다. 따라서 c의 값이 여러 개 나올 수 있음을 유의하자.

a,b,c,A가 모두 포함된 공식인 코사인법칙을 아래와 같이 쓰자.

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

그리고 a, b, A의 값을 대입하면 이는 c에 관한 이차방정식이 된다. 여기서 c의 값이 최대 2개가 나온다. 어? c의 값이 하나로 결정되지 않으므로 이 풀이는 틀린 풀이인가?

애초 주어진 상황이 삼각형이 유일하게 결정되는 상황이 아니었기 때문에 c의 값이 여러 개 나오는 이 풀이는 틀리지 않았다. 두 c의 값 중 문제 상황에 맞는 값을 적절히 하나만 골라내면 된다.

대개의 경우, c의 값 하나를 골라내는 과정이 평가원 모의고사에서는 어렵지 않게 나온다. 그리고 자주 나온다.

경우3. A,S,A가 주어진 경우(A,A: 양끝각)

아래와 같이 B,C,a를 알고 b를 구해야 하는 상황을 생각하자.

\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C)

이므로, 한 쌍의 변과 각

\{ a, A \}

을 모두 아는 상황이다. 따라서, 사인법칙을 써서 b를 구하면 된다.

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} 

경우4. A,S,A가 주어진 경우 (A,A: 양끝각이 아님)

이는 삼각형 결정조건을 만족하지 않음에 유의하자. 따라서 답이 여러 가지가 나올 수 있다.

각이 이미 2개나 주어졌기 때문에 삼각형 내각의 합이 180도임을 이용하여 나머지 한 각의 크기를 쉽게 구할 수 있다. 그 뒤는 사인법칙으로 모든 변의 길이를 쉽게 구할 수 있다.

5.요약

지금까지 나온 모든 상황을 표로 정리해 보면 아래와 같다.

상황별로 외우려 들면 무려 9가지 상황을 암기해야 한다. 암기는 비효율적이다. 무엇이 주어졌느냐에 따라 사인법칙과 코사인법칙 중 무엇을 적용해야 할지 신속하고 정확하게 판단하는 능력이 중요함을 보여주는 것이다.