수학의 역사(하)

이 책은 고대 그리스부터 현대까지의 수학의 역사에 대해 당대 수학자들이 했던 수학적 방법을 최대한 살려 설명하는 책이다. 최소 대학교 학부 수학 전공자들을 대상으로 쓴 책이라, 중고등학생이 읽기에는 많이 힘들 것이다. 따라서 이 책을 처음부터 차근차근 이해하려고 시도하면 힘들 것이고, 현재 중고등학교에서 쉽게 배우는 수학을 몇 백년 전에 수학자들은 얼마나 어렵고 기괴하게 풀었는지 비교해 보는 용도로 읽으면 조금 수월하고 흥미 있을 것이다.

17세기 초 데카르트의 이차방정식 해법

17세기 초 데카르트의 논문 <기하학>에는 이차방정식의 풀이법이 나오는데 오늘날의 풀이와 아주 다르다. 이차방정식을 푸는 데 필요한 도형(선분, 원 등)을 그려 방정식의 근에 해당하는 선분을 구한다. 오늘날 당연하게 쓰는 이항, 제곱근 씌우기 등의 연산이 얼마나 중요한 것인지 깨닫게 해 줄 만큼 번거로운 방법이다.

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17세기 중반 뉴턴의 곡선의 기울기 구하기 해법

17세기 중반 뉴턴 역시 (현재 우리나라 고등학교에서는 미분이라 부르는) 미소 단위를 기호로 표현하고 다루며 아주 찰나의 곡선의 기울기를 구했다. 뉴턴이 구한 기울기와 현재 미적분의 음함수 미분법으로 미분하여 얻은 결과를 비교하면 일치한다. 신기한 것은 여기에 이항정리도 쓰인다는 점이다. 지금의 시각에서 보면 괴상하지만, 찬찬히 따라가다 보면 그 당시 수학자들만의 논리가 있다는 것을 알 수 있다. 그 당시 곡선의 기울기를 구하기 위해 시도했던 방법을 보면 역설적으로 지금은 얼마나 쉽게 미분을 하고 있는지를 느낄 수 있다.

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17세기 라이프니츠의 무한급수 연구에서의 부분분수 분해

17세기 호이겐스가 낸 문제에 답을 하는 과정에서 라이프니츠가 부분분수 분해 아이디어를 이용해 무한급수를 구해낸 것을 볼 수 있다. 글의 뉘앙스를 보면, 그 당시 부분분수 분해가 상당히 특별한 아이디어였음을 느낄 수 있다.

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17세기 라이프니츠의 미분과 적분

늘 수업시간에 “라이프니츠도 뉴턴과 비슷한 시기에 미적분을 고안해 냈고 그만의 기호를 만들어 냈습니다”하고 말로 설명하고 지나가곤 했던 부분에 관한 구체적인 내용도 확인할 수 있다. 책에 따르면, 꽤 고민하여 만든 기호임을 알 수 있다. 뿐만 아니라, 현대에도 쓰는 미분법, 적분법이라는 용어가 라이프니츠로부터 출발했음을, 함수의 몫, 거듭제곱에 관한 미분도 현대의 형태와 유사한 형태로 구해 냈음을 확인할 수 있다.

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다만, 대학 때 배운 내용과 마찬가지로 dxdy는 무시하면서 dx, dy는 무시하지 않는다든가 하는 미세한 오류(?), 미해결 과제를 확인할 수 있다. 아직 이론이 완결되지 않았을 때의 초창기의 미분을 구경할 수 있다.

18세기 극한에 대한 달랑베르와 오일러의 견해

18세기 극한, 특히 무한소에 대한 달랑베르와 오일러를 비롯한 수학자들의 고뇌를 읽어 보면, 우리가 현재 쉽고 명확하게 배우는 극한 개념이 사실은 정말 치열한 고민 끝에 만들어진 개념임을 알 수 있다. 극한 개념이 어렵게 만들어졌을 것이란 것은 사실 미리 충분히 알 수 있는 것이, “x가 a에 한없이 가까워질 때”라는 모호한 표현을 어떻게 수학적으로 간결하게 정의하겠는가 말이다. 하지만 시간에 쫓겨 수업 시간에 빠르게 설명하고 넘어가 버리는 부분인데 사실 수학자들이 극한을 받아들이는 데 오랜 시간이 걸렸듯이 학교 수업에서도 그렇게 빠르게 후다닥 설명하고 지나갈 간단한 개념이 아니다.

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18세기 말 여전히 ‘어려운 ‘지긋지긋한 작은 0’

0으로 무시할 수 있으면서도 또 0과는 다른 그 0에 관한 논쟁은 18세기 후반까지 이어진다. 아래 원문은 수학자 카르노의 0에 관한 견해인데, 카르노의 의견에 관한 18세기 수학자들의 반응이 재밌다. 수학자들에게도 0은 골칫덩어리였나보다.

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19세기 초 코시의 도함수, 연속에 관한 정의

19세기 초 코시가 등장하면서 미분이 점점 현재의 모습과 비슷한 꼴을 갖추어 가는 것을 볼 수 있다. 아래 원문에서 코시는 변수 i를 이용해 현대와 거의 유사한 도함수 정의를 보인다. 하지만, 연속에 대해서는 현재의 그것과 확실히 다른 것으로 보아 여전히 과도기의 미적분을 확인할 수 있다.

19세기, 적분과 미분의 역연산 증명에서의 평균값 정리의 중요성 대두

또한, 코시는 적분과 미분의 역연산 사이 관계를 증명하면서 평균값 정리를 활용했다.

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