도형문제 푸는 기본 세팅

어떤 도형 문제를 만나든 아래 기초작업을 먼저 하는 습관을 들이자.

기초 작업

• [1단계] 문제에 제시된 모든 것을 그림에 표시
• [2단계] 중학도형 수준에서 알 수 있는 내용 그림에 표시
  – 닮음, 합동, 등변, 등각, 직각삼각형, 원과비례(방멱정리), 각이등분선 성질 등 기초적 내용
• [3단계] 이제 (구하는 것) 탐구 (고등학교 내용)

보통 수학문제는 늘 ‘구하는 것’에서 출발하곤 하는데, 도형 문제는 일단 그에 앞서서 그림에 내가 아는 것을 모조리 표시해놓고 시작하는 습관이 유용하다.

아래 예시에서 위 기초 작업이 얼마나 유용하게 쓰이는지 알아보자.

2020학년도 고3 가형 10월 17번

[1단계] 문제에 제시된 모든 것을 표시

문제에 제시된 길이들을 주어진 도형에 모두 표시하면 아래와 같다.

[2단계] 중학도형 수준에서 알 수 있는 기본적인 내용을 모두 표시

중학 도형 수준에서 알 수 있는 기본적인 내용(닮음, 피타고라스정리 등)은 아래와 같다.

위 3가지를 모두 표시하면 아래와 같다.

[3단계] 본격적인 문제 풀이

이제, 고등학교 수준의 내용을 적용해 문제를 풀자. (구하는 것)이 외접원의 반지름이므로 당연히 사인법칙을 사용해야 한다.

사인법칙을 쓰려면 아래 3가지 중 한 가지를 구해야 한다.

1~3번 중 어느 방향으로 가는 것이 좋을지 여기서 스크롤을 멈추고 스스로 충분히 고민해 보자.

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고민해 보았으면, 다음 단계로 넘어가자. 아래에서 보다시피 우리는 각A에 대한 모든 정보(sin, cos, tan 등)를 다 알고 있다.

따라서, 각 A가 포함된 1번 조합으로 문제풀이 방향을 잡는 것이 좋겠다. (사실 각D에 대한 정보도 모두 나와 있기는 하다)

지금과 같이 이렇게 사인법칙의 문제 풀이 방향을 확실히 정할 수 있었던 것은 선분 AJ, AO의 길이를 알 수 있었기 때문이고, 이는 중학교 도형 수준에서 알 수 있는 길이를 미리 그림에 표시했기 때문에 가능한 것이었다. 따라서, 이 대목에서 중학교 도형(합동, 닮음, 피타고라스 등)이 얼마나 중요한지 알 수 있다.

각 A는 구했으니, 선분 CD의 길이를 구하자. CD의 길이를 x라 두면,

아래와 같이 내심에서 삼각형 각 꼭짓점에 그은 선분을 기준으로 나뉘어진 세 삼각형의 넓이의 합이 전체 삼각형 넓이 합과 같음을 이용해 x에 관한 방정식을 세울 것이다. (이것은 중학교 도형 기본이다.)

따라서, 이제 문제 해결 초반에 이야기했던 사인법칙을 쓸 수 있다. 삼각형ACD에서 사인법칙을 쓰면,

따라서, 답을 위와 같이 구할 수 있다.