사인법칙, 코사인법칙으로 삼각형 풀기 3 : SSA -> S유형

이 글에서는 사인법칙, 코사인법칙 활용 준킬러 문제 패턴 중 자주 등장하는 패턴 한가지를 자세히 소개하겠다.

SSA -> S 유형

아래 그림과 같이 한 삼각형에서 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 다른 한 내각의 크기가 주어졌을 때(SSA) 나머지 한 변의 길이(S)를 구하는 상황이다. 이 글에서는 간략히 SSA -> S 유형이라고 부르겠다.

사인법칙? 코사인법칙?

이 삼각형ABC에서 선분AC의 값을 구하기 위하기 위해 사인법칙, 코사인법칙 중 무엇을 써야할까? 당연히 코사인법칙이다.

선분AC의 대각의 크기가 주어져 있지 않으므로 좌변이 x² 인 코사인법칙 식은 쓸 수 없다. 아래와 같이 쓰는 것이 최선이다.

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

\cos \frac{\pi}{3} = \frac{x^2 + 9 - 13}{2 \times 3 \times x}

이를 정리하면 x에 대한 이차방정식이 되므로, x값이 유일하게 결정되지 않는다. 애초에 SSA 상황은 A가 끼인각이 아니므로 삼각형의 결정조건을 만족하지 않아 당연한 현상이다. 그러면 x의 값이 2개가 나오는 이 풀이는 잘못된 것인가?

실제로 이 SSA->S 유형 문제 중에는 이 단계에서 x가 걸러지지 않아 코사인법칙으로 해결되지 않는 문제도 있다.

코사인법칙을 통한 SSA->S 유형 풀이

그러나 지금 이 문제는 코사인법칙 풀이를 밀고 나가도 괜찮다. 실제로 풀이를 전개하면,

\cos \frac{\pi}{3} = \frac{x^2 + 9 - 13}{2 \times 3 \times x}

\frac{1}{2} = \frac{x^2 - 4}{6x}

x^2 -3x -4 = 0

(x-4)(x+1)=0

x = -1 \text{ or }   x=4 

\therefore x=4 \text{    } \therefore \text{    }\bar{AC} = 4

결론

평가원 등의 메이저 모의고사나 수능에는 이런 패턴이 심심치 않게 나온다. (22학년도 9월 12번, 23학년도 6월 10번, 24학년도 수능 13번 등) 앞으로 이렇게 생각하자.

(참고) 만약에 정답이 아닌 하나가 안 걸러진다면? 아까 위에서 보여준 예시대로 특수각이 있는지 확인하고 적절히 보조선을 그어 볼 것

.

SSA -> S 상황 연습

이제 SSA->S상황을 몇 가지 연습해보자.

예제1. 아래에서 x의 값을 구하시오. (단, sin(BAC)=

풀이 보기

/

.

예제2. 아래에서 x의 값을 구하시오.

풀이 보기

/