이 글에서는 고1,2,3학년동안 계속 등장하는 역함수에 대해 총정리해 본다.
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일대일함수와 일대일대응
역함수를 이야기하기에 앞서 ‘일대일 함수’를 알아야 한다. 고1 때 배운 일대일함수의 정의는 아래와 같다.
보통 아래와 같이 대응의 형태로 배웠을 것이다. 각각 일대일함수가 아닌 예, 일대일함수인 예이다.
아래와 같이 간단한 함수를 예로 들어 일대일함수인지 여부를 정의를 이용해 판별할 수 있다.
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일대일함수에 한 가지 조건을 더 추가하면 일대일 대응이 된다. 정의는 아래와 같다.
아래는 정의역과 공역이 각각 실수 전체이고 식이 존재하는 함수를 예를 들어 일대일 대응 여부를 알아보는 예시이다.
보다시피, 인수분해 공식도 쓰이고 증명이 귀찮다. 일대일함수 여부를 조금 더 쉽게 파악하는 방법은 없을까? 아래 방법을 이용하면 그래프를 이용해 일대일함수 여부를 조금 더 쉽게 파악할 수 있다.
즉, x축과 평행한 직선과 항상 한 점에서 만나면 일대일함수이고, 그렇지 않으면 일대일함수가 아니다.
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역함수
이제 본격적으로 역함수에 대해 알아보자. 아래는 역함수의 정의이다.
역함수는 항상 존재하는 것이 아니다. 아래는 역함수가 존재할 조건이다.
보다시피, 일대일 대응이 되어야 역함수가 존재한다. 이러한 이유로 역함수 이전에 일대일대응을 복습한 것이다.
대응 뿐 아니라 식도 존재하는 함수의 경우, 그 역함수가 존재한다면 역함수의 식도 구할 수 있어야 한다. 아래는 함수 식 y=f(x)로부터 역함수 식 y=f-1(x)을 구하는 방법이다.
위 1,2단계를 꼭 기억하도록 하자. 아래 문제에서 간단히 역함수의 식을 구해 보자.
함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f-1(x)의 그래프는 어떤 관계가 있을까? 아래와 같이 대칭성이 존재한다.
이까지가 고1,2 교육과정에 등장하는 역함수 관련 내용 전부이다. 아래 예시에서는 교육과정에 명시되어 있지 않지만 심화 문제를 풀기 위해 알아야 할 것을 담았다.
위 내용은 그래프를 그려 보면 충분히 이해할 수 있을 것이다.
아래 내용은 역함수와 관계된 것이라기보다는 함수의 ‘증감’과 ‘미분계수’ 부호 간의 관계에 관한 것이다. 수학II에서 배웠다.
위 내용에 따르면 함수가 증가(감소)하는 것과 y ‘ >0 (y ‘ <0)은 정확히 일치하는 것이 아니다. 이 부분이 문제를 어렵게 한다. 하지만, 삼차함수에서는 이야기가 다르다. 삼차함수에서는 아래와 같은 필요충분조건이 성립한다. 덕분에 문제가 쉬워진다.
3학년 미적분 과목에서의 역함수
3학년 미적분 과목에서 역함수가 또 한번 등장한다. 아래와 같이 역함수를 미분하는 법을 배운다.
공식이 어려워 보이지만 원리를 이해하면 전혀 어렵지 않으므로 원리를 기반으로 모쪼록 잘 이해하여 헤매지 않도록 하자.
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