(수학I) 사인법칙, 코사인법칙으로 삼각형 풀기 1

1.삼각형의 결정 조건

아래 삼각형ABC에서 a의 값은 하나로 결정되는가?

하나로 결정되지 않는다.

\overline{AB} = 5, \quad \angle B = 45^\circ

인 삼각형은 무수히 많기 때문에 a의 값 역시 아래와 같이 무수히 많다.

이와 달리, 삼각형이 한 가지로 결정되는 경우가 있는데 바로 아래와 같이 삼각형의 결정조건을 만족할 때이다.

예를 들어, 아래 삼각형은 삼각형의 결정조건 중 ASA 조건을 만족하므로, 삼각형ABC는 유일하게 결정되며, 따라서 a의 값 역시 유일하다.

2.사인법칙과 코사인법칙

[1] 사인법칙

사인법칙은 다음과 같다.

사인법칙

삼각형 ABC의 외접원의 반지름 길이를 R이라 하면 다음이 성립한다.

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

사인법칙을 쓰는 대표적인 경우를 알아 보자.

경우1. a, A, b, B 중 3개가 주어졌을 때 나머지 하나를 구하는 경우

사인법칙의 공식 중 일부인 아래를 보면 알 수 있듯이, 두 쌍의 대응변, 대응각 즉, a, A, b, B 중 3개가 주어졌을 때 나머지 하나를 구하는 경우 사인법칙을 쓰면 쉽게 구할 수 있다.

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} 

경우2. a, A, R 중 2개가 주어졌을 때, 나머지 하나 구하는 경우

마찬가지로. 아래를 보면 알 수 있듯이, 한 쌍의 대응변, 대응각 즉, a, A와 외접원 반지름 R 중 2개가 주어졌을 때 나머지 하나를 구하는 경우 사인법칙을 쓰면 쉽게 구할 수 있다.

\frac{c}{\sin C} = 2R

[2] 코사인 법칙

코사인 법칙은 다음과 같다.

코사인 법칙

삼각형 ABC에서 다음이 성립한다.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

즉,

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

코사인 법칙이 쓰이는 대표적인 상황을 알아보자.

경우1. a,b,c가 주어지고 각 하나 구하는 상황 (SSS)

코사인법칙의 생김새를 보면 당연히 세 변의 길이가 주어진 SSS상황에서 임의의 각의 크기를 구할 때 코사인법칙을 쓸 수 있다.

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

경우2. b,c, A알 때, a 구하는 상황(SAS)

역시 코사인법칙의 생김새를 보면 당연한 내용이다.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

사실, S,A,S 상황에서 각 A가 꼭 끼인각이 아닌 경우에도 코사인법칙을 자주 쓴다. 이 내용은 ‘3.삼각형을 푼다’에서 자세히 설명하겠다.

3. 삼각형을 푼다

아래 삼각형에서 변의 길이 a의 값을 구하여라.

(풀이)

\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)

이므로, 사인법칙에 의해,

\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\sin 45^\circ} 
\\

\therefore\;
a = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}
= \frac{5\sqrt{6}}{2}

이처럼 삼각형의 결정조건을 만족하는 삼각형에서 사인법칙이나 코사인법칙 또는 그 외의 수학적 방법을 이용해 미지의 변의 길이, 각의 크기를 모두 구하는 것을 “삼각형을 푼다”라고 한다.

특히 사인법칙, 코사인법칙이 자주 쓰이며, 실제로 위 문제에서 보다시피, 사인법칙을 써야겠다고 스스로 판단할 줄 아는 것이 필요하겠다.

이처럼, 수능, 모의고사에서는 주어진 상황에 알맞은

-사인법칙, 코사인법칙
-기타 중학교, 고1 도형 단원 내용

을 적용하여 삼각형을 푸는 문제가 자주 출제된다.

이 테마의 핵심은 이 다음 글이다. 다음 글까 꼭 확인하도록 하자.

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